الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & - 2 \\ 3 & 9 & - 6 \\ - 2 & - 6 & 4 \end{array}]$

خطوة 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

خطوة 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 6 \\ - 6 & 4 \end{array} |$

خطوة 2.1.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 9 \cdot 4 - (- 6 \cdot - 6)$

خطوة 2.1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

اضرب $9$ في $4$ .

$a_{11} = 36 - (- 6 \cdot - 6)$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اضرب $- (- 6 \cdot - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.2.1

اضرب $- 6$ في $- 6$ .

$a_{11} = 36 - 1 \cdot 36$

خطوة 2.1.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $36$ .

$a_{11} = 36 - 36$

خطوة 2.1.2.2.2

اطرح $36$ من $36$ .

$a_{11} = 0$

خطوة 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ - 2 & 4 \end{array} |$

خطوة 2.2.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 3 \cdot 4 - (- 2 \cdot - 6)$

خطوة 2.2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

اضرب $3$ في $4$ .

$a_{12} = 12 - (- 2 \cdot - 6)$

خطوة 2.2.2.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot - 6)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 12$

خطوة 2.2.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$a_{12} = 12 - 12$

خطوة 2.2.2.2.2

اطرح $12$ من $12$ .

$a_{12} = 0$

خطوة 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ - 2 & - 6 \end{array} |$

خطوة 2.3.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 3 \cdot - 6 - (- 2 \cdot 9)$

خطوة 2.3.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

اضرب $3$ في $- 6$ .

$a_{13} = - 18 - (- 2 \cdot 9)$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $9$ .

$a_{13} = - 18 - - 18$

خطوة 2.3.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 18$ .

$a_{13} = - 18 + 18$

خطوة 2.3.2.2.2

أضف $- 18$ و $18$ .

$a_{13} = 0$

خطوة 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ - 6 & 4 \end{array} |$

خطوة 2.4.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 3 \cdot 4 - (- 6 \cdot - 2)$

خطوة 2.4.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

اضرب $3$ في $4$ .

$a_{21} = 12 - (- 6 \cdot - 2)$

خطوة 2.4.2.2.1.2

اضرب $- (- 6 \cdot - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.2.1

اضرب $- 6$ في $- 2$ .

$a_{21} = 12 - 1 \cdot 12$

خطوة 2.4.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$a_{21} = 12 - 12$

خطوة 2.4.2.2.2

اطرح $12$ من $12$ .

$a_{21} = 0$

خطوة 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 4 \end{array} |$

خطوة 2.5.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 4 - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 2.5.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1.1

اضرب $4$ في $1$ .

$a_{22} = 4 - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 2.5.2.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$a_{22} = 4 - 1 \cdot 4$

خطوة 2.5.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$a_{22} = 4 - 4$

خطوة 2.5.2.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$a_{22} = 0$

خطوة 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 2 & - 6 \end{array} |$

خطوة 2.6.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot - 6 - (- 2 \cdot 3)$

خطوة 2.6.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1.1

اضرب $- 6$ في $1$ .

$a_{23} = - 6 - (- 2 \cdot 3)$

خطوة 2.6.2.2.1.2

اضرب $- (- 2 \cdot 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1.2.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$a_{23} = - 6 - - 6$

خطوة 2.6.2.2.1.2.2

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$a_{23} = - 6 + 6$

خطوة 2.6.2.2.2

أضف $- 6$ و $6$ .

$a_{23} = 0$

خطوة 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 9 & - 6 \end{array} |$

خطوة 2.7.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 3 \cdot - 6 - 9 \cdot - 2$

خطوة 2.7.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.2.1.1

اضرب $3$ في $- 6$ .

$a_{31} = - 18 - 9 \cdot - 2$

خطوة 2.7.2.2.1.2

اضرب $- 9$ في $- 2$ .

$a_{31} = - 18 + 18$

خطوة 2.7.2.2.2

أضف $- 18$ و $18$ .

$a_{31} = 0$

خطوة 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} |$

خطوة 2.8.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot - 6 - 3 \cdot - 2$

خطوة 2.8.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.2.1.1

اضرب $- 6$ في $1$ .

$a_{32} = - 6 - 3 \cdot - 2$

خطوة 2.8.2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$a_{32} = - 6 + 6$

خطوة 2.8.2.2.2

أضف $- 6$ و $6$ .

$a_{32} = 0$

خطوة 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{array} |$

خطوة 2.9.2

Evaluate the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3$

خطوة 2.9.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1.1

اضرب $9$ في $1$ .

$a_{33} = 9 - 3 \cdot 3$

خطوة 2.9.2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $3$ .

$a_{33} = 9 - 9$

خطوة 2.9.2.2.2

اطرح $9$ من $9$ .

$a_{33} = 0$

خطوة 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$